ⓘ गणित का इतिहास. अध्ययन का क्षेत्र जो गणित के इतिहास के रूप में जाना जाता है, प्रारंभिक रूप से गणित में अविष्कारों की उत्पत्ति में एक जांच है और कुछ हद तक, अतीत ..

                                     

ⓘ गणित का इतिहास

English version: History of mathematics

अध्ययन का क्षेत्र जो गणित के इतिहास के रूप में जाना जाता है, प्रारंभिक रूप से गणित में अविष्कारों की उत्पत्ति में एक जांच है और कुछ हद तक, अतीत के अंकन और गणितीय विधियों की एक जांच है।

आधुनिक युग और ज्ञान के विश्व स्तरीय प्रसार से पहले, कुछ ही स्थलों में नए गणितीय विकास के लिखित उदाहरण प्रकाश में आये हैं। सबसे प्राचीन उपलब्ध गणितीय ग्रन्थ हैं, प्लिमपटन ३२२ Plimpton 322 बेबीलोन का गणित Babylonian mathematics सी.१९०० ई.पू) मास्को गणितीय पेपाइरस Moscow Mathematical Papyrus इजिप्ट का गणित Egyptian mathematics सी.१८५० ई.पू) रहिंद गणितीय पेपाइरस Rhind Mathematical Papyrus {3}इजिप्ट का गणित {/3}सी.१६५० ई.पू. और शुल्बा के सूत्र Shulba Sutras भारतीय गणित सी. ८०० ई.पू.। ये सभी ग्रन्थ तथाकथित पाईथोगोरस की प्रमेय Pythagorean theorem से सम्बंधित हैं, जो मूल अंकगणितीय और ज्यामिति के बाद गणितीय विकास में सबसे प्राचीन और व्यापक प्रतीत होती है।

बाद में ग्रीक और हेल्लेनिस्टिक गणित Greek and Hellenistic mathematics में इजिप्त और बेबीलोन के गणित का विकास हुआ, जिसने विधियों को परिष्कृत किया विशेष रूप से प्रमाणों mathematical rigor में गणितीय निठरता proofs का परिचय) और गणित को विषय के रूप में विस्तृत किया। इसी क्रम में, इस्लामी गणित Islamic mathematics ने गणित का विकास और विस्तार किया जो इन प्राचीन सभ्यताओं में ज्ञात थी। फिर गणित पर कई ग्रीक और अरबी ग्रंथों कालैटिन में अनुवाद translated into Latin किया गया, जिसके परिणाम स्वरुप मध्यकालीन यूरोप medieval Europe में गणित का आगे विकास हुआ।

प्राचीन काल से मध्य युग Middle Ages के दौरान, गणितीय रचनात्मकता के अचानक उत्पन्न होने के कारण सदियों में ठहराव आ गया। १६ वीं शताब्दी में, इटली में पुनर् जागरण की शुरुआत में, नए गणितीय विकास हुए. जिससे नए वैज्ञानिक खोजों के साथ अंतर क्रियाएँ हुईं, यह सब अब तक की सबसे तीव्र गति के साथ हुआ ever increasing pace और यह आज तक जारी है।

                                     

1. प्रारंभिक गणित

सबसे पुराने लिखित रिकॉडों से भी बहुत अधिक पहले, ऐसे चित्र मिलते हैं जो मूल गणित के कुछ ज्ञान की और इंगित करते हैं और तारों के आधापर समय के मापन को भी इंगित करते हैं। उदहारण के लिए जीवाश्म विज्ञानियों paleontologists ने दक्षिणी अफ्रीका की गुफाओं में ओकरे ochre चट्टानों की खोज की जो लगभग ७०, ००० वर्ष पुरानी थी और खरोंच युक्त ज्यामितिक पैटर्न से सुसज्जित थीं। साथ ही प्रागैतिहासिक prehistoricविरूपण artifact ने अफ्रीका और फ्रांसमें ऎसी खोजें की जो ३५, ००० 35.000 और २०,००० 20.000 साल पुरानी हैं, व समय के मात्राकरण quantify के प्रारंभिक प्रयासों को बताती हैं।

इस बात के प्रमाण मिलते हैं कि महिलाएं अपने मासिक धर्म चक्र menstrual cycle का हिसाब रखने के लिए गिनती करती थीं: इसके लिए हड्डी या पत्थर पर २८-३० खंरोच बना दी जाती थीं, जिस पर एक विशिष्ट मार्कर से निशान बनाये जाते थे। इसके अलावा, शिकारी और चरवाहे जब पशुओं के झुंड पर विचार करते थे तो एक, दो और अनेक की अवधारणाओं को प्रयोग करते थे, साथ ही कोई नहीं या शून्य के विचार से भी अवगत थे।

नील नदी पूर्वोत्तर कांगो Congo) के मुख्य जल के पास मिली इशांगो अस्थि Ishango bone, अधिक से अधिक २०,००० 20.000 साल पुरानी हो सकती है। एक आम धारणा यह है कि यह अस्थि अभाज्य संख्या sequence और इजिप्ट के प्राचीन गुणन prime number के अनुक्रम Ancient Egyptian multiplication का सबसे पुराना ज्ञात प्रदर्शन है। ५ वीं सहस्राब्दी ईसा पूर्व के पूर्व राजवंश के इजिप्ट Predynastic Egypt के लोगों ने ज्यामितिकस्थानिक spatial डिजाइन का चित्रों के द्वारा प्रदर्शन किया। ऐसा दावा किया गया है कि तीसरी सहस्राब्दी ई.पू. में इंग्लैंड megalith और स्कॉटलैंड में, मेगालिथिक स्मारकों ने अपने डिजाइनों में व्रत circle, दीर्घ व्रत और पाईथोगोरियन त्रिक Pythagorean triple के ज्यामितीय आकारों को शामिल किया।

प्राचीन भारत की सबसे प्राचीन ज्ञात गणित, जो ३००० -२६०० ई.पू. में मानी जाती है, उत्तर भारत North India और पाकिस्तानसिंधु घाटी सभ्यता हड़प्पा सभ्यता में पाई गयी है। इस सभ्यता ने समान वजन और मापन की प्रणाली का विकास किया जिसमें दशमलव decimal प्रणाली का प्रयोग किया गया, एक आश्चर्यजनक रूप से उन्नत ईंट brick तकनीक जिसमें अनुपात ratio का प्रयोग किया गया, पूर्ण समकोण right angle पर गलियाँ बनायीं गयी, साथ ही कई ज्यामितीय आकारों और डिजाइनों का प्रयोग किया गया, जिसमें घनाभ cuboid, बैरल barrel, शंकु cones, बेलन cylinders शामिल हैं, तथा इसमें समकेंद्री और एक दूसरे को काटने वाले व्रत circle व त्रिभुजों triangle के चित्र भी मिलते हैं। गणितीय उपकरणों में शामिल था एक सटीक दशमलव पैमाना, जो छोटे और सटीक उपविभाजनों से युक्त था, एक खोल उपकरण जो समतल सतह पर या क्षितिज में ४०-३६० डिग्री के गुनज में कोण का मापन करने के लिए एक कम्पास का काम करता था, एक खोल उपकरण का उपयोग आकाश और क्षितिज के ८-१२ पूर्ण विभागों को मापने के लिए किया जाता था और एक उपकरण का उपयोग जहाज संचालन के लिए तारों की स्थिति के मापन के लिए किया जाता था।सिन्धु लिपि को अभी तक पढा नहीं जा सका है; अतः हड़प्पा की गणित Harappan mathematics के लिखित रूपों के बारे में बहुत कम ज्ञात है। पुरातात्विक प्रमाण यह संदेह पैदा करते हैं कि इस सभ्यता में एक आधार 8 base 8 की अंक प्रणाली numeral system का उपयोग किया गया, उन्हें π का मान भी ज्ञात था, जो व्रत की परिधि circumference की लम्बाई और इसके व्यास diameter का अनुपात है।

चीनी गणित का सबसे पुराना उदाहरण शांग राजवंश Shang Dynasty १६०० -१०४६ ई.पू. से मिलता है, जिसमें एक कछुए के कवच पर खरोंच कर बनाये गए अंक शामिल हैं।.इन अंकों को दशमलव संकेतन के माध्यम से बताया जाता था। उदाहरण के लिए संख्या १२३ को ऊपर से नीचे तक लिखने के लिए १ के प्रतीक के बाद १०० का प्रतीक लिखा जाता था, उसके बाद २ के प्रतीएक बाद १० का प्रतीक लिखा जाता था और अंत में ३ का प्रतीक लिखा जाता था। यह उस समय दुनिया की सबसे उन्नत अंक प्रणाली थी, जिसमें सुअन पेन suan pan या चीनी एबेकस पर गणनाएं भी की जा सकती थीं। सुअन पेन के आविष्कार की तारीख ज्ञात सुनिश्चित नहीं है, किन्तु सबसे पुराना लिखित उदाहरण ई. १९० में जू यू की सप्लीमेंट्री नोट्स ओन दी आर्ट ऑफ़ फिगर्स में मिलता है।

                                     

2.1. पूर्व के पास प्राचीन सी.१८०० -५०० ई.पू. मेसोपोटामिया

बेबीलोन का गणित मेसोपोटामिया आधुनिक इराक के लोगों के किसी भी गणित से सम्बन्ध रखता है, यह प्ररम्भिक सुमेरियन से लेकर हेल्लेनिस्टिक अवधि Hellenistic period की शुरुआत से सम्बंधित है। इसे बेबीलोन के गणित का नाम दिया गया क्योंकि अध्ययन के स्थान के रूप में बेबीलोन नें केन्द्रीय भूमिका निभाई, जिसका अस्तित्व हेल्लेनिस्टिक अवधि में मन जाता है। इस बिंदु से, बेबीलोन का गणित ग्रीक और मिस्र के गणित के साथ विलय हो गया और इसने हेल्लेनिस्टिक गणित Hellenistic mathematics को जन्म दिया। बाद में अरब साम्राज्य Arab Empire, मेसोपोटामिया, विशेषकर बगदादके अंतर्गत, एक बार फिर से इस्लामी गणित Islamic mathematics के लिए अध्ययन का एक महत्वपूर्ण केंद्र बन गया।

मिस्र के गणित Egyptian mathematics में स्रोतों की अतिरिक्तता के विपरीत बेबीलोन की गणित के बारे में हमारा ज्ञान १८५० के बाद से खुदाई में मिली ४०० से अधिक मिटटी की गोलियों से व्युत्पन्न हुआ है।क्युनीरूप लिपि Cuneiform script में गोलियों पर किया गया अंकन तब किया गया जब मिटटी गीली थी और इसे सख्त बनाने के लिए एक भट्टी में या सूरज की गरमी में पकाया गया। इनमें से कुछ गृह कार्य की श्रेणी में वर्गीकृत होते हुए प्रतीत होते हैं।

लिखित गणित का सबसे पुराना प्रमाण प्राचीन सुमेरियन से मिलता है, जिन्होंने मेसोपोटामिया में सबसे पुरानी सभ्यता का निर्माण किया। उन्होंने २५०० ई.पू. के बाद से ३००० ई.पू. से. मापन विज्ञान metrology की एक जटिल प्रणाली का विकास किया, सुमेरियन लोगों ने मिटटी की गोलियों पर गुणा के पहाड़े लिखे और ज्यामितीयअभ्यासों तथा भाग division की समस्याओं को हल किया। बेबीलोन के अंकों के सबसे पुराने चिन्ह भी इसी अवधि से मिलते हैं।

मिटटी की गोलियां मुख्य रूप से १८०० से १६०० ई.पू. के बीच मिली हैं, ये ऐसे विषयों को कवर करती हैं जिनमें भिन्न, बीज गणित, द्विघात और घन समीकरण शामिल हैं, साथ ही नियमित regularव्युत्क्रम reciprocalजोडों pairs पर गणनाएं भी मिलती हैं। देखें प्लिमपटन ३२२ Plimpton 322)। इन गोलियों पर गुणा के पहाड़े और रेखीय और द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियां भी शामिल हैं। बेबीलोन की गोली वे बी सी ७२८९, √ २ का मान दशमलव के पांच स्थानों तक बिलकुल ठीक बताती है।

बेबीलोन के गणित को एक सेक्सागेसिमल sexagesimalआधार-60 अंक प्रणाली numeral system का उपयोग करते हुए लिखा गया। इसी से हम ने आधुनिक उपयोग को व्युत्पन्न किया है जैसे एक मिनट में ६० सेकंड, एक घंटे में ६० मिनट और एक व्रत में ३६० ६० X ६० डिग्री, साथ ही एक डिग्री के के अंश को निरुपित करने के लिए एक चाप के सेकंड और मिनट का उपयोग.गणित में बेबीलोन के उन्नत अनुप्रयोग इस तथ्य से प्रभावित हैं कि ६० से बहुत अधिक भाजक हैं। साथ ही, मिस्र, ग्रीक और रोमन के लोगों के विपरीत, बेबीलोन के लोगों के पास एक सही स्थानीय मान प्रणाली थी, जिसमें बाएं स्तम्भ में लिखी गयी संख्या बड़े मान को बताती थी जैसा कि दशमलव decimal प्रणाली में होता है। तथापि उनकी प्रणाली में दशमलव बिंदु के तुल्य मान का अभाव था। और इसीलिए किसी प्रतीक का स्थानीय मान अक्सर सन्दर्भ से निष्कर्षित किया जाता था।

                                     

2.2. पूर्व के पास प्राचीन सी.१८०० -५०० ई.पू. मिस्र

इजिप्ट का गणित वह गणित है जिसे इजिप्ट की भाषा Egyptian language में लिखा गया है।हेल्लेनिस्टिक अवधि Hellenistic period, से इजिप्ट Greek के विद्वानों की लिखित भाषा की दृष्टि से ग्रीक Egyptian ने इजिप्ट का स्थान ले लिया और इस समय से इजिप्ट का गणित ग्रीक और बेबीलोन के गणित के साथ विलेय हो गया, जिसने हेल्लेनिस्टिक गणित Hellenistic mathematics को जन्म दिया। इजिप्ट में गणित का अध्ययन बाद में इस्लामी गणित Arab Empire के एक भाग के रूप में अरब साम्राज्य Islamic mathematics के अंतर्गत जारी रहा, जब अरबी मिस्र के विद्वानों के लिखित भाषा बन गई।

सबसे पुराना अभी तक खोजा गया गणितीय ग्रन्थ मास्को पेपाइरस Moscow papyrus है, जो एक इजिप्ट का मध्य साम्राज्य Middle Kingdom का दिनांकित सी. पेपाइरस है। २०००-१८०० ई.पू. को हल कर सकते थे।

                                     

3. प्राचीन भारतीय गणित सी. ९०० ई.पू ई. २००

शुक्लयजुर्वेद संहिता के कतिपय मन्त्राें में संख्याअाें का उल्लेख अाैर गुणनसारणी पाइ जाती है।

वैदिक गणित की शुरुआत शतपथ ब्राह्मण के साथ प्रारंभिक लौह युग में हुई, सी. ३० वीं शताब्दी ई.पू., जो π के मान को दशमलव के दो स्थानों तक बताती है। वेदांग ज्याेतिष में सी.१३५० ई.पू. गणित के कतिपय प्रकार पाए जाते हैं। और शुल्बा के सूत्र Sulba Sutras। सी.८००-५०० ई.पू. ज्यामिति के पाठ हैं जो अन अनुपातिक संख्याओं irrational number, अभाज्य संख्याओं prime number, तीन के नियम rule of three और घन मूल cube root का उपयोग करते थे; इन्होने २ के वर्ग मूल square root की गणना दशमलव के पांच स्थानों तक की; वृत का वर्ग squaring the circle करने की विधी दी; रैखिक समीकरणों और द्विघात समीकरणों को हल किया; बीज गणितीय रूप से पाइथोगोरियन त्रिक Pythagorean triple का विकास किया और पाईथोगोरस की प्रमेय proof का एक आंकिक प्रमाण Pythagorean theorem तथा तथ्य दिया।

Pāṇini सी. ५. शताब्दी ई.पू. संस्कृत grammar के व्याकरण नियमों को तैयार किया। उनका अंकन आधुनिक गणितीय अंकन के समान था और इसने ऎसी कृत्रिमता के साथ मध्यम नियमों, रूपांतरण transformation और पुनरावृति recursion का उपयोग किया की उनकी व्याकरण में एक ट्यूरिंग मशीन computing के तुल्य घात अभिकलन Turing machine की क्षमता थी।पिंगला मोटे तौपर तीसरी पहली शताब्दी ई.पू. ने अपने छंदशास्र prosody की शोधात्मक पुस्तक में एक उपकरण का उपयोग किया जो द्विआधारी अंक प्रणाली binary numeral system से मेल खाती है।मीटर combinatorics की संचयिका meters पर उनकी चर्चा द्विपद प्रमेय binomial theorem से मेल खाती है। पिंगला के कार्य में फिबोनैकी संख्याओं के बुनियादी विचार भी शामिल हैं। जो मात्रामेरु। ब्रह्ममी Brāhmī लिपि कम से कम चौथी शताब्दी ई.पू. में मौर्य राजवंश से विकसित हुई। प्रकट होते हुए हाल ही के पुरातात्विक साक्ष्य इसके विकास को ६०० ई.पू. में दिनांकित करते हैं। ब्राह्मी अंक Brahmi numerals तीसरी शताब्दी ई.पू. की तिथि पर दिनांकित हैं।

४०० ई.पू. और ई. २०० ई. के बीच, जयना गणितज्ञों ने मात्र गणित के उद्देश्यों के लिए गणित का अध्ययन शुरू किया। वे पहले लोग थे जिन्होंने पारपरिमित संख्याओं transfinite numbers, समुच्चय सिद्धांत, लघुगणक, सूचकांकों के मूल नियम indices, घन समीकरण cubic equation, द्विघात समीकरण quartic equation, अनुक्रम sequences और उन्नयन, क्रमचय और संचय permutations and combinations, वर्ग करना और वर्ग मूल square root निकालना और परिमित और अपरिमित infinite घातों powers का विकास किया। बखशाली पाण्डुलिपि Bakhshali Manuscript जो २०० ई.पू. और २०० ई. के बीच लिखी गयी, में पांच अज्ञात तक रैखिक समीकरणों के हल, द्विघात समीकरणों के हल, अंक गणितीय और ज्यामितीय उन्नयन, संयुक्त श्रृंख्ला, द्विघात अनिश्चित समीकरण, युगपत समीकरण शामिल हैं और साथ ही शून्य और नकारात्मक संख्याओं negative numbers के प्रयोग भी शामिल हैं। अन अनुपातिक संख्या के लिए सटीक अभिकलन पाए जा सकते हैं, जिसमें अधिक से अधिएक मिलियन तक की संख्याओं के वर्ग मूलों का कम से कम ११ दशमलव स्थानों तक अभिकलन शामिल है।



                                     

4. ग्रीक और हेल्लेनिस्टिक गणित सी.५५० ई.पू ई. ३००

ग्रीक गणित वह गणित है जो ६०० ई.पू. और ३०० ई. के बीच ग्रीक भाषा Greek language में लिखी गयी। ग्रीक गणितज्ञ इटली से उत्तरी अफ्रीका तक पूरे पूर्वी भूमध्य में फैले थे, लेकिन संस्कृति और भाषा से एकजुट थे।एलेगजेंडर दी ग्रेट के बाद की अवधी की ग्रीक गणित कभी कभी हेल्लेनिस्टिक गणित कहलाती है।

ग्रीक गणित उस गणित की तुलना में अधिक परिष्कृत थी जो प्रारंभिक संस्कृतियों के द्वारा विकसित की गयी थी। फ्रीक पूर्व गणित के सभी उपस्थित रिकोर्ड आगमनात्मक तर्क के उपयोग को दर्शाते हैं, अर्थात, अंगूठे के नियमों को स्थापित करने के लिए बार बार प्रेक्षणों को दोहराना. इसके विपरीत ग्रीक गणितज्ञ निगमनात्मक तर्क का उपयोग करते थे। ग्रीक लोग परिभाषा और स्वतः सिद्ध कथनों से निष्कर्ष प्राप्त करने के लिए तर्क का उपयोग करते थे।

माना जाता है कि ग्रीक गणित की शुरुआत थेल्स Thalesसी. ६२४-सी.५४६ ई.पू. और पाईथोगोरस का साथ हुई। सी.५८२-सी.५०७ ई.पू.। हालाँकि इसके प्रभाव की सीमा पर विवाद है, संभवतया वे मिस्र Egypt, मेसोपोटामिया Mesopotamia और भारत की गणित से प्रेरित थे। पौराणिक कथा के अनुसार, पाईथोगोरस, इजिप्ट के पुजारियों से गणित, ज्यामिति और खगोल विज्ञान सीखने के लिए इजिप्ट गए।

थेल्स ने समस्याओं को हल करने के लिए ज्यामिति का प्रयोग किया जैसे पिरेमिड की ऊंचाई की गणना और जहाज से किनारे की दूरी की गणना.पाइथोगोरस की प्रमेय Pythagorean theorem के पहले प्रमाण का श्रेय पाइथोगोरस को दिया जाता है, हालाँकि प्रमेय के तथ्यों का एक लम्बा इतिहास है।यूक्लिड Euclid पर उनकी टिप्पणी में प्रोक्लस Proclus कहते हैं कि पाइथोगोरस ने प्रमेय की अभिव्यक्ति की जिसमें उनका नाम है और ज्यामितीय के बजाय बीजगणितीय रूप से पाईथोगोरियन त्रिक Pythagorean triples बनाये। प्लेटो की अकादमी Academy of Plato के दो उद्देश्य थे,"

पाइथोगोरियन्स Pythagoreans ने अन अनुपातिक संख्याओं के अस्तित्व को साबित किया।यूडोक्‍सस Eudoxus४०८-सी. ३५५ ई.पू. ने समाप्ति की विधि method of exhaustion को विकसित किया, जो आधुनिक एकीकरण integration का एक अग्रदूत है।अरस्तू Aristotle ३८४-सी.३२२ ई.पू. ने अहले तर्कके नियमों को लिखा.यूक्लिड Euclid सी.३०० ई.पू. उस प्रारूप का सबसे पुराना उदाहरण है जिसका उपयोग अभी भी आज की गणित, परिभाषाओं, स्वतः सिद्ध तथ्यों, प्रमेयों और प्रमाणों में होता है। उन्होंने कोनिक्स का भी अध्ययन किया। उनकी पुस्तक "एलिमेंट्स Elements", २० शताब्दी के मध्य तक पश्चिम में सभी लोगों को शिक्षित करने के लिए जानी जाती थी। ज्यामिति की परिचित प्रमेयों जैसे पाइथोगोरस की प्रमेय Pythagorean theorem के अलावा, एलिमेंट्इस बात का सबूत है कि २ का वर्गमूल अन अनुपातिक संख्या है और अनंत रूप से कई अभाज्य संख्याएँ पाई जाती हैं।इरेतोस्थेनस की चलनी Sieve of Eratosthenesसी.२३० ई.पू. का उपयोग अभाज्य संख्याओं की खोज के लिए किया गया।

सिरैक्यूज़ के आर्किमिडीज Syracuseसी. २८७-२१२ ई.पू. ने एक अपरिमित श्रृंखला के समेशन method of exhaustion के साथ एक परवलय के चाप के अंतर्गत क्षेत्रफल की गणना करने के लिए समाप्ति की विधी का उपयोग किया और पाई Pi का एक उल्लेखनीय सटीक सन्निकटन दिया। उन्होंने एक सर्पिल spiral का भी अध्ययन किया जिसमें उनका नाम था और परिक्रमण करने वाली सतह के आयतन surfaces of revolution के लिए सूत्र दिए, तथा बहुत बड़ी संख्याओं को व्यक्त करने के लिए एक बहुत ही सरल प्रणाली दी।

                                     

5. शास्त्रीय चीनी गणित सी. ५०० ई.पू १३०० ई.

चीनमें महाराज किन शि हुआंग Qin Shi Huang शि हुआंग-टी ने २१२ ई.पू. निर्देश दिया कि किन के राज्य के बहार सभी किताबों को जला दिया जाये.इसकी सार्वभौमिक रूप से पालना नहीं की गयी, लेकिन इस आदेश के परिणाम के रूप में प्राचीन चीनी गणित के बारे में बहुत कम ज्ञात है।

पश्चिमी झोउ वंश Western Zhou Dynasty१०४६ ई.पू. से, से सबसे पुराना गणितीय कार्य जिसने पुस्तकों को जलाना book burning जारी रखा, वह है, आई चिंग I Ching, जो ८ द्विआधारी ३- टपल tupleत्रिग्राम और ६४ द्विआधारी ६ -टपल tuple षटग्राम का उपयोग गणितीय, दार्शनिक और रहस्यमय प्रयोजनों के लिए करता है। द्विआधारी टपल टूटी हुई और ठोस रेखाओं के बने होते हैं, जो क्रमशः यिन मादा और येंग नर कहलाते हैं, देखें राजा वेन अनुक्रम King Wen sequence)।

चीन में ज्यामिति में सबसे पुराना विद्यमान कार्य दार्शनिक मोहिस्त Mohist केनन सी. से आया है। ३३० ई.पू., मोजी Mozi ४७०-३९० ई.पू.। के अनुयायियों के द्वारा संकलित. मो जिंग ने भौतिक विज्ञान से सम्बंधित कई क्षेत्रों के भिन्न पहलुओं का वर्णन किया और साथ ही गणित पर थोडी बहुत जानकारी भी दी।

पुस्तकों को जलने के बाद, हान राजवंश Han dynasty २०२ ई.पू २२० ई. ने गणित के कार्यों का उत्पादन किया जो संभवतया उन कार्यों पर विस्तृत हुए जो आज खो चुके हैं। इनमें से सबसे महत्वपूर्ण है गणितीय कला पर नौ अध्याय The Nine Chapters on the Mathematical Art, जिसका पूरा शीर्षक १७९ ईस्वी तक सामने आया, लेकिन इसके अलावा अन्य शीर्षकों में भागों में उपस्थित था। इसमें २४६ शाब्दिक समस्याएँ थीं, जिनमें कृषि, व्यापार, चीनी शिवालय Chinese pagoda के स्तंभों के लिए विमाओं के अनुपात और ऊंचाई के आयाम की ज्यामिति का अंकन, अभियांत्रिकी, सर्वेक्षण की समस्याएँ शामिल थीं और इसमें समकोण त्रिभुज right triangle और π से सम्बंधित सामग्री भी शामिल है। इसने आयतन पर केवेलियरी के सिद्धांत Cavalieris principle का प्रयोग किया, जबकि इसके हजार से भी अधिक सालों के बाद केवेलियरी ने इसे पश्चिम में प्रस्तावित किया। इसने पाइथोगोरस की प्रमेय Pythagorean theorem के लिए गणितीय प्रमाण दिया और गाऊसीयन उन्मूलन Gaussian elimination के लिए एक गणितीय सूत्र भी दिया। लियू हुई Liu Hui ने तीसरी शताब्दी ई. तक कार्य पर टिप्पणी की।

इसके अलावा, हान के खगोल विज्ञानी और आविष्कारक जांग हेंग Zhang Hengई. ७८ -१३९ के गणितीय कार्यों ने पाई pi के मान की गणना की जो लियू हुई की गणना से अलग है। जांग हेंग ने अपने पाई के सूत्र का उपयोग गोले के आयतन को ज्ञात करने के लिए किया। गणितज्ञ और संगीत सिद्धांतवादी music theoristजिंग फेंग Jing Fang७८-३७ ई.पू. का लिखित कार्य भी था; पाइथोगोरियन अल्प विराम Pythagorean comma के उपयोग के द्वारा, जिंग ने देखा की ५३ केवल पाँचवे just fifth लगभग ३१ अष्टक octave थे। इससे बाद में ५३ बराबर आचरणों 53 equal temperament की खोज हुई और इसकी गणना कहीं पर भी निश्चित रूप से नहीं की गयी थी जब तक निकोलस मर्केटर Nicholas Mercator ने १७ वीं शताब्दी में ऐसा किया।

चीनी लोगों ने जटिल संचयी चित्र का उपयोग किया जो जादुई वर्ग magic square और जादुई व्रत magic circles कहलाता है, प्राचीन समय में यांग हुई Yang Hui१२३८-१३९८ ई. के द्वारा इसका वर्णन किया गया और इसे सिद्ध किया गया।

दक्षिणी और उत्तरी राजवंशों Southern and Northern Dynasties केजू चोंगजी Zu Chongzhi५ वीं शताब्दी ने दशमलव के पांच स्थानों तक पाई के मान की गणना की, जो लगभग १००० सालों तक पाई का सबसे सही मान बना रहा।

पुनर् जागरण के दौरान जब यूरोपीय गणित पनपना शुरू हो गयी, उसके बाद यूरोपीय और चीनी गणित अलग परम्पराएँ थीं, चीनी गणित के निर्गम में बहुत अधिक गिरावट आई, जब जेसुइट Jesuit मिशनरियों जैसेमातेओ रिक्की Matteo Ricci ने १६ वीं से १८ वीं शताब्दी तक दोनों संस्कृतियों के बीच गणितीय विचारों को आगे पीछे रखा।



                                     

6. शास्त्रीय भारतीय गणित ४०० -१६००)

इन्हें भी देखें: History of the Hindu-Arabic numeral system

सूर्य सिद्धांत सी. ४०० ने ज्या trigonometric functions, कोज्या sine और व्युत्क्रम ज्या के त्रिकोणमितीय फलन cosine दिए और प्रदीप्त वस्तुओं की वास्तविक गति को निर्धारित करने के लिए नियम दिए, जो आकाश में उनकी वास्तविक स्थिति को सुनिश्चित करते हैं। ब्रह्माण्ड विज्ञान संबंधी समय चक्र की व्याख्या इस पाठ्य में की गयी, जो एक प्रारंभिक कार्य से नक़ल की गयी थी, यह ३६५.२५६३६३०५ दिनों के एक औसत नाक्षत्र वर्ष sidereal year से मेल खाती है, जो ३६५.२५६३६२७ दिनों के आधुनिक मान से केवल १.४ सेकंड बड़ा है। इस कार्य को मध्य युग में अरबी और लैटिन में अनुवादित किया गया।

४९९ में आर्यभट्ट ने, वरसाइन versine फलन की शुरुआत की, ज्या की पहली त्रिकोणमितीय सारणी बनायीं, तकनीकों, बीज गणित के लघुगणक, अत्याणु infinitesimal, अवकलज समीकरण differential equation का विकास किया और एक ऐसी विधि से रैखिक समीकरणों के पूर्ण संख्या हल प्राप्त किया, जो आधुनिक विधि के तुल्य थी, साथ ही गुरुत्वाकर्षण की अभिकेन्द्रिक heliocentric प्रणाली पर आधारित खगोलीय gravitation गणनाये की। उनकी आर्यभट्टिया का अरबी अनुवाद ८ वीं शताब्दी से उपलब्ध था, इसके बाद १३ वीं शताब्दी में इसका लेतीं अनुवाद किया गया। उन्होंने π के मान की गणना भी दशमलव के चौथे स्थान तक ३.१४१६ के रूप में की। १४ वीं शताब्दी में, संगमग्राम के माधव Madhava of Sangamagrama ने π के मान की गणना दशमलव के ग्यारहवें स्थान तक ३.१४१५९२६५३५९ के रूप में की।

७ वीं सदी में ब्रह्मगुप्तने ब्रह्मगुप्त की प्रमेय Brahmagupta theorem, ब्रह्मगुप्त का मूल समीकरण Brahmaguptas identity, और ब्रह्मगुप्त का सूत्र Brahmaguptas formula दिया और पहली बार ब्रह्म-स्फूत-सिद्धांत में, उन्होंने शून्य के उपयोग को एक स्थानीय धारक placeholder के रूप में और एक दशमलव अंक decimal digit के रूप में विस्तार से समझाया, तथा हिंदु-अरबी अंक प्रणाली Hindu-Arabic numeral system को स्पष्ट किया। गणित पर इस भारतीय पाठ्य के अनुवाद से सी. ७७० इस्लामी गणितज्ञों ने इस अंक प्रणाली को शुरू किया और इसे अरबी अंकों Arabic numerals के रूप में अनुकूलित किया। इस्लामी विद्वान् अंक प्रणाली के इस ज्ञान को १२ वीं शताब्दी तक यूरोप में ले गए और अब इसने पूरी दुनिया में सभी पुरानी अंक प्रणालियों को प्रतिस्थापित कर दिया है। १० वीं शताब्दी में, पिंगला Halayudha के कार्य पर हलयुद्ध की कमेंट्री में फिबोनाकी अनुक्रम और पास्कल के त्रिभुज Pascals triangle का एक अध्ययन शामिल है और यह एक मैट्रिक्स matrix के निर्माण का वर्णन करता है।

१२ वीं शताब्दी में, भास्कर Bhaskara ने सबसे पहले अवकल कलन differential calculus की अवधारणा दी और साथ ही व्युत्पन्न derivative, अवकलज differential गुणांक और अवकलन differentiation की अवधारणायें भी दीं। उन्होंने रोले की प्रमेय Rolles theorem दी माध्य मान प्रमेय mean value theorem का एक विशेष मामला), पेल के समीकरण Pells equation का अध्ययन किया और ज्या फलनों के व्युत्पन्नों की खोज की। १४ वीं शताब्दी से, माधव और केरल स्कूल के Kerala School गणितज्ञों ने उनके विचारों को आगे विकसित किया। उन्होंने गणितीय विश्लेषण mathematical analysis और उत्प्लावी बिंदु floating point संख्याओं की अवधारणा का विकास किया और कलन के पूर्ण विकास के लिए मूल अवधारणायें दीं, इसमें शामिल हैं पदानुसारसमाकलन integration, एक वक्र के अंतर्गत एक क्षेत्रफल और इसके प्रतिव्युत्पन्नों या समाकलों का सम्बन्ध, अभिकेंद्रण के लिए समाकल परीक्षण integral test for convergence, अरैखिक समीकरणों iterative method के हल के लिए पुनरावृति विधि non-linear और अपरिमित श्रृंखला, घात श्रृंखला power series, टेलर श्रृंखला Taylor series और त्रिकोणमितीय श्रृंखला की एक संख्या.१६ वीं शताब्दी में, ज्येष्ठदेव Jyeshtadeva ने केरल स्कूल की गतिविधियों और प्रमेयों को युक्तिभाषा में समेकित किया, जो दुनिया की पहली अवकल कलन पाठ्य है, इसने समाकल कलन integral calculus की अवधारणा को भी शुरू किया।

राजनीतिक उथलपुथल की वजह से भारत में गणित की प्रगति १६ वीं शताब्दी के बाद रुक गयी।



                                     

7. इस्लामी गणित सी. ८०० -१५००

इन्हें भी देखें: History of the Hindu-Arabic numeral system

इस्लामी अरब साम्राज्य Arab Empire की स्थापना ८ वीं शताब्दी में मध्य पूर्व, केन्द्रीय एशिया Central Asia, उत्तरी अफ्रीका North Africa, आइबेरिया Iberia और भारत के कई भागों में हुई जिसने गणित में महत्त्वपूर्ण योगदान दिया। हालाँकि गणित पर अधिकांश इस्लामिक पाठ्य अरबी में लिखे गए, वे सभी अरब Arab में नहीं लिखे गए, चूँकि हेल्लेनिस्टिक दुनिया में ग्रीक स्थिति से यह बहुत समानता रखते थे, उस समय पर पूरी इस्लामी दुनिया में अरबी भाषा का उपयोग गैर-अरब विद्वानों के द्वारा लिखित भाषा के रूप में किया गया। साथ ही, अधिकांश महत्वपूर्ण इस्लामी गणितज्ञ पारसी Persians भी थे।

९ वीं शताब्दी में, Muḥammad ibn Mūsā al-Ḵwārizmī हिन्दू-अरबी अंकों पर और समीकरणों को हल करने की विधियों पर कई मुख्य पुस्तकें लिखीं. हिन्दू अंकों के साथ गणनाओं पर,८२५ के बारे में लिखी गयी उनकी पुस्तक, साथ ही अल-किंदी Al-Kindi का कार्य, पश्चिम में भारतीय गणित और भारतीय अंकों Indian numerals के प्रसार में सहायक रहे। शब्द एल्गोरिथम उनके नाम एल्गोरित्मी, के लेटिनीकरण से व्युत्पन्न हुआ है। और शब्द एलजेबरा उनके कार्यों में से एक अल-किताब अल-मुख्तसर फी हिसाब अल- गबर वाल-मुकाबाला Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī hīsāb al-ğabr wa’l-muqābala समापन और संतुलन के द्वारा गणना पर सक्षिप्त पुस्तक शीर्षक से आया है, अल ख्वारिज्मी को अक्सर"बीज गणित का जनक"कहा जाता है, क्योंकि उन्होंने इस क्षेत्र में बुनियादी योगदान दिया। उन्होंने धनात्मक मूलों से युक्त द्विघात समीकरणों के बीजगणितीय हल के लिए एक पूर्ण स्पष्टीकरण दिया, और वे पहले व्यक्ति थे जिन्होंने खुद के लिए बीजगणित को मूल रूप elementary form में पढाया. उन्होंने "काटने reduction"और "संतुलन की मूल विधियां भी शुरू की, जो एक समीकरण के दूसरी और से घटागए पदों के स्थानान्तरण का उल्लेख करती ;हैं अर्थात, समीकरण के विपरीत पक्ष में समान पदों को काटना. इसी गतिविधि को अल-ख्वारिज्मी ने मूल रूप से अल-जब्र, के रूप में वर्णित किया। उनकी बीजगणित भी लम्बे समय तक "हल किये जाने वाली समस्याओं problem की एक श्रृंखला से सम्बंधित नहीं थी, लेकिन एक प्रदर्शनी exposition जो उन प्रारंभिक शब्दों के साथ शुरू होती है, जिनमें संयोजनों को समीकरणों के लिए सभी संभव प्रोटोटाइप देने चाहिए, जो अध्ययन के वास्तविक उद्देश्य को स्पष्ट रूप से रखती है। उन्होंने खुद ही एक समीकरण का अध्ययन किया और एक सामान्य तरीके से, क्योंकि यह एक समस्या को हल करने के दौरान साधारण रूप से उत्पन्न नहीं होती है, लेकिन विशेष रूप से यह समस्याओं के एक अनंत वर्ग को परिभाषित करती है।"

बीजगणित में आगे के विकास अल-कराजी Al-Karaji के द्वारा उनके निबंध अल-फाखरी में किये गए, जहां वे अज्ञात मात्राओं के पूर्णांक मूलों और पूर्णांक घातों को शामिल करने की विधि का विस्तार करते हैं। गणितीय प्रेरण proof का पहला ज्ञात प्रमाण mathematical induction अल-कराजी के द्वारा १००० ई. में लिखी गयी एक पुस्तक में मिलता है, जिन्होंने, इसका उपयोग द्विपद प्रमेय binomial theorem, पास्कल के त्रिभुज Pascals triangle और समाकल integralघनों cubes के योग को साबित करने के लिए किया। गणित के इतिहासकार historian, एफ वूपके, ने अल-करजी की प्रशंसा की क्योंकि "वे पहले व्यक्ती थे जिन्होंने बीजगणितीय theory कलन का सिद्धांत दिया। "१० वीं सदी में भी, अबुल वफ़ा Abul Wafa ने डायोफ़ेन्तस Diophantus के कार्यों का अरबी में अनुवाद किया और स्पर्शज्या tangent फलन का विकास किया।इब्न अल हेथम Ibn al-Haytham पहले गणितज्ञ थे जिन्होंने चौथी घात fourth powers के योग के लिए सूत्र व्युत्पन्न किया, इसके लिए उन्होंने एक ऎसी विधि का प्रयोग किया जो किसी भी समाकल घात के योग के लिए सामान्य सूत्र के निर्धारण हेतु तत्काल प्रयुक्त की जा सकती है। उन्होंने एक पेराबोलोइड या परवलय paraboloid के आयतन को ज्ञात करने के लिए एक समाकलन किया, वे चौथे अंश polynomial तक एक बहुपद fourth degree के समाकलों के लिए परिणाम को स्पष्ट करने में सक्षम थे। इस प्रकार से वे बहुपदों के समाकलों integral के लिए एक सामान्य सूत्र ज्ञात करने के नजदीक पहुँच गए, लेकिन वे चौथे अंश से अधिक किसी भी बहुपद से सम्बंधित नहीं थे।

११ वीं शताब्दी में उमर खय्याम Omar Khayyam ने डिसकशन्स ऑफ दी डिफीकल्टीज इन युक्लिड लिखी जो युक्लीड के तत्वों" Euclids Elements विशेष रूप से समानान्तर अभिधारणा parallel postulate में दोष के बारे में एक पुस्तक थी और उन्होंने विश्लेषणात्मक ज्यामिति analytic geometry और गैर युक्लिड ज्यामिति non-Euclidean geometry के लिए नीव रखी.साथ ही वे पहले व्यक्ति थे जिन्होंने घन समीकरण cubic equation के सामान्य ज्यामितीय हल को खोजा.वे कैलेंडर सुधार calendar reform में बहुत प्रभावी थे।

१२ वीं शताब्दी में, शराफ-अल-दिन अल-तुसी Sharaf al-Dīn al-Tūsī ने फलन की अवधारणा दी, और वे पहले व्यक्ति थे जिन्होंने घन बहुपदों derivative के व्युत्पन्न cubic polynomials की खोज की। उनके समीकरणों पर निबंध ने अवकल कलन से सम्बंधित अवधारणाओं का विकास किया, जैस व्युत्क्रम फलन और वक्र के उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ maxima and minima ताकि उन घन समीकरणों को हल किया जा सके, जिनके धनात्मक हल नहीं हो सकते हैं।

१३ वीं शताब्दी में, नासिर अल दीन तुसी Nasir al-Din Tusiनासिरेद्दीन ने गोलीय त्रिकोणमिति spherical trigonometry में प्रगति की। साथ ही उन्होंने यूक्लिड Euclid की समानान्तर अभिधारणा parallel postulate पर प्रभावी कार्य भी लिखा.१५ वीं शताब्दी में, घियाथ अल-काशी Ghiyath al-Kashi ने दशमलव के १६ स्थानों तक π के मान की गणना की। काशी ने n वें मूल की गणना के लिये एक एल्गोरिथ्म दिया, जो रुफिनी Ruffini और होर्नर Horner के द्वारा कई सदियों बाद दी गयी विधी का एक विशेष मामला था।

अन्य उल्लेखनीय मुस्लिम गणितज्ञों में शामिल हैं, अल समावल al-Samawal, अबुल-हसन अल-युक्लिदिसी Abul-Hasan al-Uqlidisi, जमशीद अल-काशी Jamshid al-Kashi, थाबित इब्न कूरा Thabit ibn Qurra, अबू कामिल Abu Kamil और अबू सहल अल-कुही Abu Sahl al-Kuhi।

इस अवधि के दौरान मुस्लिम गणितज्ञों की अन्य उपलब्धियां हैं, बीज गणित और एल्गोरिथम देखें मोहम्मद इब्न मूसा अल ख्वारिज्मी Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī), गोलीय त्रिकोणमिति spherical trigonometry का विकास,}अरबी अंकों decimal point के दशमलव बिंदु Arabic numerals संकेतन के अलावा, ज्या के अतिरिक्त सभी आधुनिक त्रिकोणमितीय फलनों trigonometric function की खोज, क्रिप्ट विश्लेषण al-Kindi और आवृत्ति विश्लेषण cryptanalysis का अल किंदी frequency analysis का परिचय, विश्लेषणात्मक ज्यामिति analytic geometry का इब्न अल हेथम Ibn al-Haytham के द्वारा विकास, उमर खय्याम algebraic geometry के द्वारा बीजीय ज्यामिति Omar Khayyam की शुरुआत, युक्लिड ज्यामिति Euclidean geometry का पहला खंडन और नासिर अल दीन अल तूसी parallel postulate के द्वारा सामानांतर अभिधारणा Nasīr al-Dīn al-Tūsī, सदर अल-दीन के द्वारा गैर युक्लिड ज्यामिति non-Euclidean geometry का एक प्रयास, अल कलासादी algebraic notation के द्वारा एक बीज गणितीय संकेतन al-Qalasādī का विकास, और बीज गणित में कई अन्य प्रगतियां, अंक गणित, कलन, क्रिप्टोग्राफी, ज्यामिति, अंक सिद्धांत number theory और त्रिकोणमिति.

15 वीं सदी से, तुर्क साम्राज्य के दौरान, इस्लामी गणित का विकास रुक गया।

                                     

8. मध्यकालीन यूरोपीय गणित सी. ५००-१४००

गणित में मध्यकालीन यूरोपीय रूचि जिन मुद्दों से उत्पन्न हुई वह वर्तमान गणित से बिलकुल अलग थे। एक उत्तरदायी तत्व वह विश्वास था कि गणित ने प्रकृति के सृजन के आदेश को समझने के लिए कुंजी प्रदान की है, इसे प्लेटोकी तिमास Timaeus के द्वारा समर्थन दिया गया और बाइबिल का पथ कि भगवान ने सभी चीजों को मापन, संख्या और भार, में आदेश दिया है"विजडम ११:२१।

                                     

8.1. मध्यकालीन यूरोपीय गणित सी. ५००-१४०० प्रारंभिक मध्य युग ५००-११००)

बोएथियास Boethius ने पाठ्यक्रम में गणित के लिए एक जगह उपलब्ध कराई जब उसने अंकगणित, ज्यामिति, खगोल विज्ञान और संगीत के अध्ययन का वर्णन करने के लिए क्वाड्रीवियम quadrivium शब्द दिया। उन्होंने दी इंस्टीट्युशने एरिथमेटीका लिखी जो निकोमेकास Nicomachus के अंकगणित के परिचय का ग्रीक से एक मुक्त अनुवाद था; दी इंस्टीट्युशने म्यूजिका भी ग्रीक स्रोतों से व्युत्पन्न हुई; और युक्लिड Euclid के "तत्वों" Elements संश की एक श्रृंखला. उनका कार्य प्रायोगिक से ज्यादा सैद्धांतिक था और ग्रीक और अरबी गणितीय कार्य में सुधार तक गणितीय अध्ययन का आधार बना रहा।

                                     

8.2. मध्यकालीन यूरोपीय गणित सी. ५००-१४०० यूरोप में गणित का पुनर्जन्म ११००-१४००

12 वीं सदी में, यूरोपीय विद्वानों ने वैज्ञानिक अरबी पाठ्य के अध्ययन के लिए seeking scientific Arabic texts स्पेन और सिसली की यात्रा की, इसमें अल ख्वारिज्मी की समापन और संतुलन के द्वारा गणना पर संक्षिप्त पुस्तक The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing शामिल है, जो चेस्टर के रॉबर्ट Robert of Chester के द्वारा लेटिन में अनुवादित की गयी और युक्लीड के "तत्वों" Euclids Elements का पूर्ण पाठ्य, जो एडेलार्ड ऑफ बाथ Adelard of Bath, हर्मन ऑफ केरिन्थिया Herman of Carinthia और जेरार्ड ऑफ क्रेमोना Gerard of Cremona के द्वारा भिन्न संस्करणों में अनुवादित किया गया।

इन नए स्रोतों ने गणित को नवीनीकृत किया।फिबोनाकी, १२०२ में लिबर एबेकी Liber Abaci में लिखी गयी और १२५४ में इसका अद्यतन किया गया, इसने इरेटोस्थेनेस के समय से यूरोप में महत्वपूर्ण गणित का उत्पादन किया, यह एक हजार साल से अधिक अंतर था। इस कार्य से यूरोप में हिंदु-अरबी अंकों Hindu-Arabic numerals की शुरुआत हुई और इसने कई अन्य गणितीय समस्याओं की चर्चा की।

चौदहवीं शताब्दी में नयी गणितीय अवधारणाओं का विकास हुआ जिसने समस्याओं की एक विस्तृत श्रृंखला की खोज की। एक महत्वपूर्ण योगदान था, स्थानीय गति के गणित का विकास

थॉमस ब्राडवारदाइन Thomas Bradwardine ने प्रस्तावित किया की गति V अंकगणितीय अनुपात में बढ़ती है क्योंकि बल F और प्रतिरोध R का अनुपात ज्यामितीय अनुपात में बढ़ता है। ब्राडवारदाइन इसे विशेष उदाहरणों की एक श्रृंखला के द्वारा अभिव्यक्त किया, लेकिन हालाँकि लघुगणक अभी आया नहीं था, हम उनके निष्कर्षों को पुरातनपंथी लेखन के द्वारा अभिव्यक्त करते हैं: V लॉग = F/R। ब्राडवारदाइन का विश्लेषण अल किंदी al-Kindi और विलानोवा के अर्नाल्ड Arnald of Villanova के द्वारा प्रयुक्त गणितीय तकनीक के स्थानान्तरण का एक उदाहरण है जो मिश्रित औषधियों की प्रकृति को भिन्न भौतिक समस्याओं के लिए बताता है।

१४ वीं सदी के ऑक्सफ़ोर्ड गणकों Oxford Calculators में से एक विलियम हेतेसबरी William Heytesbury के पास अवकल कलन differential calculus और सीमाओं की अवधारणाओं का अभाव था, उन्होंने उस पथ के द्वारा तात्कालिक गति का मापन प्रस्तावित किया जो यदि के द्वारा एक काय वर्णित किया जायेगा.यह सामान अंश की गति से समान रूप से गति करेगी जिससे यह दिगए तात्कालिक पल में गति करेगी।

हेतेस्बरी और अन्य लोगों ने गणितीय रूप से सामान त्वरित गति करती हुई एक वस्तु के द्वारा तय की गयी दूरी को निर्धारित किया आज इसे समाकलन integration के द्वारा हल किय जाता है), उन्होंने स्थापित किया की "एक गतिमान वस्तु समान रूप से वृद्धि गति की को प्राप्त कर रही है या खो रही है, वह दिगए समय में उतनी ही दूरी तय करेगी जितनी कि वह तब करती जब यह समान समय के दौरान लगातार समान अंश के साथ गति करते हुए कर पाती.

निकोल ओरेस्म Nicole Oresme ने पेरिस विश्वविद्यालय University of Paris और इतालवी गिओवानी दी कासाली Giovanni di Casali में स्वतंत्र रूप से इस सम्बन्ध का लेखाचित्र के द्वारा प्रदर्शन किया, इस में उन्होंने यह माना कि स्थिर त्वरण को बताने वाली रेखा के अंतर्गत क्षेत्र, तय की गयी कुल दूरी को अभिव्यक्त करता है। युक्लिड के तत्वों पर बाद में की गयी एक कमेंट्री में, ओरेस्म ने एक अधिक विस्तृत सामान्य विश्लेषण किया, जिसमें उन्होंने दर्शाया कि एक वस्तु समय की प्रत्येक क्रमागत वृद्धि के दौरान, किसी गुण में वृद्धि प्राप्त करेगी, जो विषम संख्याओं के रूप में बढ़ती है। चूँकि युक्लीड ने प्रर्दशित किया था कि विषम संख्याओं का योग वर्ग संख्याएं होती हैं, वस्तु के द्वारा प्राप्त किये गए कुल गुण समय के वर्ग के रूप में बढ़ते हैं।



                                     

9. प्रारंभिक आधुनिक यूरोपीय गणित सी. १४००–१६००

यूरोप में पुनर्जागरण की शुरुआत में, गणित कुछ बोझिल संकेतनों के द्वारा सीमित थी, जिसमें रोमन अंकों Roman numeral का उपयोग किया जाता था और इसमें प्रतीकों के बजाय शब्दों के उपयोग के द्वारा सम्बन्ध की अभिव्यक्ति की जाती थी: इसमें एक अज्ञात के रूप में किसी भी प्लस के निशान का, किसी भी बराबर के निशान का, या किसी भी गुणा के निशान का उपयोग नहीं किया जाता था।

जहां तक आज जाना जाता है, १६ वीं शताब्दी में यूरोपीय गणितज्ञों ने दुनिया में कहीं भी अग्रिम हुए बिना प्रगति की। इनमें से सबसे पहला था, घन समीकरणों cubic equation का सामान्य हल, जिसका सामान्य रूप से श्रेय स्किपिओन डेल फेरो Scipione del Ferro सी. को जाता है, १५१०, लेकिन इसका पहला प्रकाशन गेरोलामो करडानो Johannes Petreius के आर्स मेगना Nuremberg में नुरेमबर्ग Gerolamo Cardano में जोहानिस पेट्रियस के द्वारा किया गया, जिसमें कोर्दानों के विद्यार्थी लोडोविको फेरारी quartic equation के द्वारा किया गया द्विघात समीकरण Lodovico Ferrari का सामान्य हल भी शामिल था।

इस बिंदु से गणितीय विकास में तेजी आई, जिससे भौतिक विज्ञान physical sciences की समकालीन उन्नति को को योगदान मिला और लाभ मिला। इस प्रगति में मुद्रण printing में हुई उन्नति से बहित अधिक योगदान मिला। सबसे प्राचीन गणित की प्रकाशित पुस्तकें mathematical books थीं, प्युरबाच Peurbach की थ्योरिका नोवा प्लेने टेरम Theoricae nova planetarum १४७२, जिसके बाद वाणिज्यिक अंकगणित पर पुस्तक आई ट्रेविसो अंकगणित Treviso Arithmetic१४७८ और उसके बाद गणित पर पहली वर्तमान पुस्तक युक्लिड के तत्व १४८२ में रेटडोल्ट Ratdolt के द्वारा मुद्रित और प्रकाशित की गयी।

नेविगेशन की मांगों और बड़े क्षेत्रफलों की सही नक्शों की बढ़ती हुई आवश्यकताओं के लिए, त्रिकोणमिति गणित की मुख्य शाखा बन गयी।बर्थोलोमियस पिटिसकस Bartholomaeus Pitiscus पहले व्यक्ति थे जिन्होंने इस शब्द का उपयोग किया और १५९५ में अपनी ट्रिगोनोमेट्रिया प्रकाशित की। ज्या और कोज्या की रेजियोमोंटानस की सारणी १५३३ में प्रकाशित हुई।

सदी के अंत तक, रेजियोमोंटानस Regiomontanus१४३६-७६ और फ्रंकोइस वीटा François Vieta१५४०-१६०३, के लिए धन्यवाद हेतु पुस्तकें लिखी गयी, हिन्दू अरबी अंकों का उपयोग करते हुए गणित की पुस्तकें लिखी गयीं, ये ऐसे रूप में थीं जो आज काम में लिए जाने वाले संकेतनों से बहुत अलग नहीं था।



                                     

10. १७ वीं सदी

१७ वीं शताब्दी में, पूरे यूरोप में गणितीय और वैज्ञानिक विचारों का एक अभूतपूर्व विस्फोट हुआ। एक इतालवी गैलीलियो, ने बृहस्पति के चन्द्रमाओं को उनके कक्ष में प्रेक्षित किया, इसके लिए उन्होंने होलेन्ड से मंगाये गए खिलौने पर आधारित दूरबीन का उपयोग किया। एक डेन टीचो ब्राहे, ने गणित के आंकडों की काफी जानकारी एकत्रित की, जो आकाश में ग्रहों की स्थिति का वर्णन करते हैं। उनके एक जर्मन विद्यार्थी, जोहानीस केपलर ने इन आंकडों के साथ काम करना शुरू कर दिया। एक अंश में क्योंकि वे गणनाओं में केपलर की सहायता करना चाहते थे, जॉन नेपियर John Napier ने स्कोटलैण्ड में, सबसे पहले प्राकृतिक लघुगणक natural logarithm की खोज की। केपलर ने ग्रहों की गति के गणितीय नियमों को बनाने में सफलता हासिल की। विश्लेषणात्मक ज्यामिति analytic geometry जो एक फ्रांसीसी गणितज्ञ और दार्शनिक रेन देस्कर्ट्स René Descartes१५९६-१६५० के द्वारा विकसित की गयी, ने उन कक्षों को कार्तीय निर्देशांक में एक लेखाचित्पर निर्देशित किया।

पूर्व के कई वैज्ञानिकों के द्वारा किये गए कार्यों के आधापर एक अंग्रेज आइजैक न्यूटन ने केपलर के नियमों Keplers Laws को स्पष्ट करने के लिए भौतिकी के नियम दिए और वह अवधारणा लाये जिसे आज कलन के नाम से जाना जाता है। स्वतंत्र रूप से, गोटफ्रिड विलहेल्म लीबनिज ने जर्मनी में, कलन का विकास किया और इसमें से आज भी अधिकांश कलन संकेतनों का उपयोग किया जाता है। विज्ञान और गणित एक अंतरराष्ट्रीय प्रयास बन गए हैं, जो जल्दी ही पूरी दुनिया में फ़ैल जायेंगे.

आकाश के अध्ययन के लिए गणित के अनुप्रयोगों के अलावा, पियरे डी फर्मेट Pierre de Fermat औरब्लेज पास्कल के पत्राचार के साथ अनुप्रयोग गणित नए क्षेत्रों में विस्तृत होने लगी, पास्कल और फार्मेट ने संभाव्यता सिद्धांत probability theory और जुए combinatorics के एक खेल पर अपनी चर्चा में, संचयिका gambling से सम्बंधित नियमों की खोज के लिए मूल कार्य किया। पास्कल ने अपने दांव wager के साथ, नए विकसित हो रहे संभाव्यता सिद्धांत को प्रयुक्त करने का प्रयास किया और धर्म के लिए समर्पित जीवन का तर्क दिया, इसका आधार यह था कि चाहे सफलता की संभावना काम हो, उसके परिणाम असीमित होते हैं। कुछ अर्थों में, १८ वीं और १९ वीं शताब्दी में, उपयोगिता सिद्धांत utility theory के विकास को इसने पूर्वाभास दिया।

                                     

11. १८ वीं सदी

१७०० का सबसे प्रभावी गणितज्ञ था, लिओनहार्ड यूलर. उनके योगदान की श्रृंखला है ग्राफ सिद्धांत graph theory के अध्ययन से लेकर Seven Bridges of K%C3%B6nigsberg तक, समास्याएं जो कई आधुनिक गणितीय नियम और संकेतनों का मानकीकरण करती हैं। उदाहरण के लिए, उन्होंने ऋणात्मक १ के वर्ग मूल को प्रतीक i के द्वारा बताया और उन्होंने एक व्रत की परिधि और व्यास के अनुपात को बताने के लिए ग्रीक शब्द π {\displaystyle \pi } के उपयोग को लोकप्रिय बनाया। उन्होंने टोपोलोजी, लेखाचित्र सिद्धांत, कलन, संचयिका और जटिल विश्लेषण के अध्ययन में असंख्य योगदान दिए, जैसा कि असंख्य प्रमेय और संकेतनों का श्रेय उन्हें जाता है।

१८ वीं शताब्दी के अन्य महत्वपूर्ण यूरोपीय गणितज्ञों में शामिल हैंजोसफ लुइस लेगरेंज Joseph Louis Lagrange, जिन्होंने अंक सिद्धांत, बीज गणित, अवकल कलन और चरों के कलन, पर अग्रणी कार्य किया है और लाप्लेस Laplace जिन्होंने, नेपोलियन के युग में खगोल यांत्रिकी celestial mechanics की नींव पर और सांख्यिकी पर कार्य किया।

                                     

12. १९ वीं सदी

१९ वीं सदी के दौरान, गणित तेजी से बढ़ता हुआ सार बन गयी। १९ वीं सदी में कार्ल फ्रेडरिक गॉस Carl Friedrich Gauss १७७७ -१८५५ रहते थे। विज्ञान में अपना योगदान देने के अलावा, उन्होंने, शुद्ध गणित में भी ज्यामिति में जटिल चरों complex variable के फलनपर और श्रृंखला के अभिकेंद्रण पर क्रांतिकारी कार्य किया। उन्होंने बीज गणित की मूल प्रमेय fundamental theorem of algebra के तथा द्विघाती पारस्परिकता नियम quadratic reciprocity law के पहले संतोषजनक प्रमाण दिए।

इस सदी में गैर युक्लिड ज्यामिति non-Euclidean geometry के दो रूपों का विकास हुआ, जहां युक्लिड ज्यामिति parallel postulate की समानान्तर अभिधारणा Euclidean geometry अब नहीं रही। रूसी गणितज्ञ निकोलाइ इवानोविच लोबाचेवस्की Nikolai Ivanovich Lobachevsky और उसके प्रतिद्वंद्वी, हंगरी गणितज्ञ जनोस बोलयाई Janos Bolyai ने स्वतंत्र रूप से हाइपरबोलिक ज्यामिति hyperbolic geometry को परिभाषित किया और उसका अध्ययन किया, अब सामानांतर की अद्वितीयता नहीं रही। इस ज्यामिति में एक त्रिभुज में कोणों का योग जुड़ कर १८० डिग्री से कम रहता है।दीर्घवृत्तीय ज्यामिति Elliptic geometry का विकास बाद में १९ वीं सदी में जर्मन गणितज्ञ बर्नहार्ड रिएमन्न Bernhard Riemann के द्वारा किया गया; यहाँ कोई भी समानान्तर नहीं मिलते हैं और एक त्रिभुज में कोण जुड़ कर १८० डिग्री से अधिक बनाते हैं। रिएमन्न ने रिएमन्न ज्यामिति Riemannian geometry का भी विकास किया, जोबड़े पैमाने पर तीन प्रकार की ज्यामिति को एकीकृत और सामान्यीकृत करता है और उन्होंने मेनिफोल्ड manifold अवधारणा कोई परिभाषित किया, जो वक्र curve और सतह surface के विचार को सामान्य रूप से प्रस्तुत करती है।

१९ वीं शताब्दी में सार बीजगणित abstract algebra की शुरुआत हुई। विलियम रोवाण हैमिल्टन William Rowan Hamilton ने आयरलैण्ड में गैर क्रम-विनिमय बीजगणित noncommutative algebra को विकसित किया। ब्रिटिश गणितज्ञ जॉर्ज बूले ने एक ऐसी बीजगणित तैयार की जो जल्दी ही ऐसे रूप में सामने आई जिसे आज बूलीय बीजगणित के रूप में जाना जाता है, जिसमें ० और १ केवल संख्याएं थीं और जिनमें प्रसिद्द रूप से 1 + 1 = 1.बूलीय बीजगणित गणितीय तर्क mathematical logic का प्रारंभिक बिंदु है और इसके कंप्यूटर विज्ञान computer science में महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं।

अगस्टिन लुईस कॉची Augustin-Louis Cauchy, बर्नहार्ड रिएमन्न Bernhard Riemann और कार्ल विर्स्ट्रास Karl Weierstrass ने कलन को अधिक कठोर तरीके से फिर से तैयार किया।

साथ ही पहली बार, गणित की सीमाएं स्पष्ट की गयीं। एक नार्वेजीयन्नील्स हेनरिक अबेल Niels Henrik Abel और एक फ्रांसीसी इवारिस्ते गैल्वा Évariste Galois ने साबित किया कि चार से अधिक डिग्री की बहुपदीय समीकरणों को हल करने के लिए कोई सामान्य बीजगणितीय विधि नहीं है। १९ वीं शताब्दी के अन्य गणितज्ञों ने इसे अपने प्रमाणों में प्रयुक्त किया कि केवल सीधा किनारा और कम्पास एक स्वैच्छिक कोण को त्रिभाजित करने trisect an arbitrary angle के लिए पर्याप्त नहीं है, न ही इससे एक दिगए घन के आयतन के दो गुने घन की भुजा को बनाया जा सकता है, न ही यह एक दिगए व्रत के सामान क्षेत्रफल के वर्ग के निर्माण के लिए पर्याप्त है। प्राचीन यूनानियों के समय से इन सभी समस्याओं को हल करने के लिए गणित ने व्यर्थ प्रयास किये हैं।

अबेल और गलोईस ने भिन्न बहु पदीय समीकरणों के हल में जो खोजे कीं, उन्होंने समूह सिद्धांत group theory और सार बीजगणित abstract algebra के सम्बंधित क्षेत्रों के आगे विकास के लिए आधार उपलब्ध कराया.२० वीं शताब्दी में, भौतिकीविदों और अन्य वैज्ञानिकों ने समूह सिद्धांत को सममिति symmetry के अध्ययन के लिए एक आदर्श तरीके के रूप में देखा.

बाद में १९ वीं शताब्दी में, जॉर्ज केंटर Georg Cantor ने समुच्चय सिद्धांत की पहली नींव रखी, जिसने अनंत के संकेतन के कठोर उपचार के सक्षम बनाया और यह लगभग सभी गणित की एक सामान्य भाषा बन गयी है। केंटर का समुच्चय सिद्धांत और पियानो mathematical logic, एल ई जे ब्रोवर Peano, डेविड हिल्बर्ट L. E. J. Brouwer, बर्ट्रेंड रसेल और ऐ एन व्हाइटहेडके गणितीय तर्क A.N. Whitehead ने गणित की नींव foundations of mathematics पर एक लम्बी दौड़ की बहस शुरू की।

१९ वीं शताब्दी में, कई राष्ट्रीय गणितीय सोसाइटियों की स्थापना हुई: १८६५ में लंदन गणितीय सोसायटी London Mathematical Society, १८७२ में सोसाइटी मेथमेटिके डी फ्रांस Société Mathématique de France, १८८४ में सर्कोलो मेथमेटिको डी पालेर्मो Circolo Mathematico di Palermo, १८८३ में एडिनबर्ग गणितीय सोसायटी Edinburgh Mathematical Society और १८८८ में अमेरिकी गणित सोसाईटी American Mathematical Society।

                                     

13. २० वीं सदी

२० वीं शताब्दी में गणित एक मुख्य पेशा बन गया। हर साल हजारों लोगों को गणित में नयी पी एच डी की उपाधि से सम्मानित किया जाता है और अध्यापन और उद्योग दोनों में नौकरियां उपलब्ध हैं। प्रारंभिक शताब्दियों में, किसी भी एक समय पर दुनिया में कुछ ही रचनात्मक गणितज्ञ होते थे। अधिकांश भाग के लिए, गणितज्ञ या तो संपत्ति के साथ पैदा हुए जैसे नेपियर Napier, या उन्हें किसी अमीर संरक्षक का समर्थ मिला जैसे गाऊस Gauss। कुछ ही लोग ऐसे थे जिन्होंने अपनी आजीविका को विश्वविद्यालयों में शिक्षण के द्वारा चलाया जैसे फूरियर.नील्स हेनरिक अबेल Niels Henrik Abel कोई स्थिति प्राप्त नहीं कर पाए और २६ साल की उम्र में गरीबी और कुपोषण तथा क्षय रोग के कारण मर गए।

१९०० में गणितज्ञों की अंतर्राष्ट्रीय कांग्रेस International Congress of Mathematicians के लिए एक भाषण में, डेविड हिल्बर्टने गणित में २३ नसुलझी समस्याओं 23 unsolved problems in mathematics की एक सूची दी। ये समस्याएँ गणित के कई क्षेत्रों में फैली थीं, इन्होने २० वीं शताब्दी के अधिकांश गणितज्ञों का ध्यान आकर्षित किया। आज, १० सुलझ गयी हैं, ७ आंशिक रूप से सुलझ गयी हैं और २ अभी भी खुली हैं। बची हुई ४ ऐसी हैं कि जिनके बारे में यह नहीं कहा जा सकता की वे सुलझ पाएंगी या नहीं।

प्रसिद्ध ऐतिहासिक अनुमानों को अंततः साबित किया गया। १९७६ में, वोल्फगैंग हाकेन Wolfgang Haken और केनेथ अप्पेल Kenneth Appel ने चार रंग की प्रमेय four color theorem को प्रमाणित करने के लिए एक कंप्यूटर का उपयोग किया। एंड्रू वैल्स Andrew Wiles ने दूसरों के कार्य पर काम करते हुए, १९९५ में फर्मेट की अन्तिम प्रमेय Fermats Last Theorem को प्रमाणित किया। पॉल कोहेन Paul Cohen और कुर्त गोडेल Kurt Gödel ने साबित किया कि सतत परिकल्पना continuum hypothesis समुच्चय सिद्धांत के मानक स्वतः सिद्ध प्रमाणों independent से स्वतंत्र standard axioms of set theory है जिसे इससे प्रमाणित या अप्रमाणित नहीं किया जा सकता है।

अप्रत्याशित आकाऔर गुंजाइश के गणितीय सहयोग ने स्थान ले लिया। एक प्रसिद्ध उदाहरण है परिमित सरल समूहों का वर्गीकरण classification of finite simple groups जो "भरी प्रमेय" भी कहलाती है, १९५५ और १९८३ के बीच जिसके प्रमाण को १०० लेखकों के ५०० विषम जर्नल लेखों की जरुरत थी और दसियों हजारों पृष्ठ भरे गए। फ्रांसीसी गणितज्ञों का एक समूह जिसमें जीन डीयूडोने Jean Dieudonné और आंद्रे वेल André Weil शामिल थे, सुडोनीम pseudonym के अंतर्गत प्रकाशित करते हुए, "निकोलस बोरबाकी ने सभी ज्ञात गणितज्ञों को एक संसक्त कड़ी के रूप में जोड़ने का प्रयास कीया. जिसके परिणाम स्वरुप कई दर्जन संस्करणों ने गणित की शिक्षा पर विवादास्पद प्रभाव डाला।

गणित के पूर्ण नए क्षेत्र जैसे गणितीय तर्क mathematical logic, टोपोलॉजी topology, जटिलता सिद्धांत complexity theory और खेल सिद्धांत game theory ने उन प्रश्नों के प्रकार को बदल डाला जिनके उत्तर गणितीय विधियों के द्वारा दिए जा सकते थे।

उसी समय पर, गणित की सीमाओं के बारे में गहरे दृष्टिकोण स्थापित हुए. १९२९ और १९३० में, प्राकृत संख्याओं natural number के बारे में बने सभी कथन सही या गलत प्रमाणित हो गए, साथ ही कोई योग या गुणन निर्धारित किये जाने योग्य decidable था अर्थात एल्गोरिथम के द्वारा इसका निर्धारण किया जा सकता था। १९३१ में कुर्त गोडेल Kurt Gödel ने पाया कि यह प्राकृत संख्याओं प्लस योग और गुणन दोनों का मामला नहीं था; यह तंत्र पियानो अंकगणितीय Peano arithmetic के रूप में जाना जाता था और वास्तव में पूर्ण होने के योग्य नहीं था। incompletableपियानो अंकगणित संख्या सिद्धांत number theory के लिए उपयुक्त है, जिसमें अभाज्य संख्या prime number का संकेतन शामिल है।) गोडेल की दो अपूर्णता प्रमेय incompleteness theorem का एक परिणाम यह है कि कोई भी गणितीय तंत्र जिसमें पियानो की अंकगणित शामिल है सभी विश्लेषण analysis और ज्यामिति सहित), सच्चाई आवश्यक रूप से प्रमाण देती है; ऐसे सच्चे कथन हैं जिन्हें तंत्र के साथ साबित नहीं किया जा सकता है। cannot be proved इसलिए गणित को गणितीय तर्क के लिए घटाया नहीं जा सकता है और गणित को पूर्ण और स्थायी बनाने का डेविड हिल्बर्ट का सपना समाप्त हो गया।

२० वीं शताब्दी की गणित में एक अधिक रंगीन चित्र था श्रीनिवास आयंगर रामानुजन१८८७-१९२० जिसने खुद ही बहुत अधिक शिक्षित होने के बावजूद, ३००० से ज्यादा प्रमेयों को साबित किया, जिसमें उच्च सम्मिश्र संख्याओं highly composite number के गुण, विभाजन फलन partition function और इसके अलाक्षणिक asymptotics और मोक थीटा फलन mock theta functions शामिल हैं। उन्होंने गामा फलन gamma function, अनुखंडीय रूप modular form, पृथककारी श्रृंखला divergent series, हाइपर ज्यामिति श्रृंखला hypergeometric series और अभाज्य संख्या सिद्धांत prime number theory के क्षेत्रों में मुख्य खोजें कीं.

                                     
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